2023. 6. 1. 22:51ㆍ카테고리 없음
고등학생 시절에는 미적분의 기본정리의 대단함을 알지 못했다. 그저 당연한 것을 그럴듯하게 써놓은 것이라고 생각했다.
대학교에 와서 미적분의 기본정리를 다시 보면서 면적을 쉽게 구할 수 있는 대단한 방식이라는 것을 알게되었다.
하지만, 왜 면적을 구하는 것이 대단한 것인지는 이해하지 못했다.
왜 면적이 중요한지는 "미적분의 힘"이라는 책을 읽음으로써 이해할 수 있게 되었다.
미적분의 세 가지 중심문제
저자에 따르면, 미적분학에는 순방향 문제, 역방향 문제, 면적 문제라는 세 가지 중심 문제가 있다고 한다.
순방향 문제는 곡선 위 모든 지점의 기울기를 구하는 문제이고(미분), 역방향 문제는 곡선 위 모든 점의 기울기가 주어졌을 때(적분), 그 곡선을 구하는 것이고, 면적 문제는 주어진 곡선에서 곡선 아래의 면적을 구하는 것이다.
순방향 문제는 미분이고, 역방향 문제는 적분이다.
미분은 국지적인 연산, 적분은 전체적인 연산.
적분은 미분보다 어렵다. 왜냐하면 미분은 한 부분만을 보면 되지만, 적분은 전체를 봐야하기 때문이다.
가장 이해하기 쉬운 위치,속도의 관계를 통해 이해해보자.
자동차가 달리는 속도를 알기위해서는 n초와 n+dx초의 함숫값을 알면 된다.
반면 속도함수의 적분을 통해 자동차가 이동한 거리를 알기위해서는 적분을 해야하는데, 이는 처음부터 아주 작은 움직임들을 더해나가야 비로소 n초에서의 위치를 알 수 있다.
따라서 역방향문제는 순방향문제보다 어렵다.
역방향 문제와 면적문제와의 관계
뉴턴 이전에는 면적을 정적인 것으로 간주하고 구할려고했다. 하지만 뉴턴은 면적을 x에 의해 변하는 값으로 생각해 놀라운 결과를 얻어낸다. 그걸 알아보자.
y(x)아래에 x까지의 면적을 A(x)라고 하자.
무한히 작은 거리 dx만큼 더 움직였을 때 변화된 면적은 dA이다. 이때 dx만큼 움직였으므로 직사각형으로 간주할 수 있다.
따라서 변화된 면적은 dA = ydx이다. 그리고 dA/dx = y이다.
이 식이 의미하는 바는 면적의 변화율은 y값과 같은 속도로 증가한다는 것이다. 이 방정식을 만족하는 A를 구한다면 면적을 구할 수 있다. 면적을 구할려고 세운 식을 풀려고 봤더니, 역방향 문제로 해석이 될 수 있다. 함수값 y를 통해 A를 구해야하는 역방향 문제로 말이다! 이렇게 역방향 문제와의 밀접한 관계 때문에 '면적 문제'는 단지 면적에 관한 문제로 그치지 않는다.
면적문제는 어떤 것의 변화율이 가변적 일 때, 그 변화율과 시간이 지남에 따라 그것에 누적되는 변화량 사이의 관계를 예측하는 문제가 된다. 즉 자동차의 속도가 가변적일 때, 자동차의 속도와 시간이 지남에 따라 자동차가 이동한 거리의 관계를 예측하는 문제가 되는 것이다.
마무리
미적분의 제1 기본정리는 역방향문제와 면적문제와의 관련성을 알려주었고,
미적분의 제2 기본정리는 적분이라는 전체적인 연산을 국지적인 연산으로 바꿔주었다.