3차원 강체 운동학(3D Rigid body Kinematics)

 

안녕하십니까! 오늘은 3차원에서 움직이는 물체의 속도, 가속도를 구해야 하는 지 알아보도록 하겠습니다.

 

2차원과 3차원에서 가장 큰 차이점은 무엇일까요?

 

각속도의 방향이 변한다는 것입니다. 2차원에서는 가속도가 항상 평면을 뚫고나오거나 안으로 들어가는 방향이라면 3차원에서는 어떤 방향이든 다 될 수 있죠.

 

3차원에서 각속도와 각가속도를 다루는 법

유한 회전(finite rotation)

3차원에서 회전을 할 때 회전의 순서도 중요합니다. 다음 그림을 봅시다.

 

 

z축으로 90도 -> y축으로 90도 한것과 y축으로 90도 -> z축으로 90도 한 것이 다릅니다.

 

미소 회전(infinitesimal rotation)

위에서 회전의 순서가 중요하다고 말했지만 아주 작은 각도 $d\theta$는 순서가 중요하지 않습니다.

$$d\theta_1 + d\theta_2 = d\theta_2 + d\theta_1$$

 

각속도

각속도란 일정시간동안 각변위가 얼마나 빠르게 변하는 지 알려주는 값입니다.

수식으로 나타내면 $\omega = \frac{d\theta}{dt}$ 입니다. 선풍기 날개의 각속도는 $\omega_z$의 영향을 받습니다. 즉 $\omega_z$에 의해서 변위가 생기고, $\omega_s$에 의해서도 변위가 생긴다는 것이죠. 따라서 선풍기 위의 날개의 각속도(순간적인 각변위)를 구하기 위해서는 두 개의 각속도를 더해주어야 합니다. 다행히 미소회전에 한해서는 회전의 순서는 중요하지 않기때문에 단순히 더해주기만 하면됩니다.

$$\omega_{total} = \omega_s + \omega_z$$

 

두 개의 서로다른 축으로 회전하는 선풍기

 

각속도를 구할 때 주의해야할 점은 구하고자하는 점의 각변위가 어떤 각속도에 영향을 받는지는 살펴봐야하고, 각속도를 더한 후 하나의 좌표계를 기준으로 통일시켜주어야합니다.

 

예를 들어, 3개의 축으로 회전하는 강체가 있다고 생각해봅시다. 이때D점이 놓여있는 원판(disk)는 $\omega_1$, $\omega_2$, $\omega_3$의 영향을 받습니다. 하지만 y''에 놓여있는 점은 $\omega_3$,$\omega_2$의 영향만을 받습니다.

 

임의의 벡터A의 미분

3차원 강체의 각가속도를 구하기 전에 회전좌표계에서 정의된 임의의 벡터A의 시간에 대한 미분을 구하는 과정을 알아보고 가겠습니다. 스포하자면 임의의 벡터 A는 $\omega_{total}$입니다.

$\textbf{A} = A_x\hat{i} + A_y\hat{j}+A_z\hat{k}$로 나타낼 수 있고, 시간에 대해 미분을 하면 아래 처럼 됩니다.

$$\frac{d\textbf{A}}{dt} = (\dot{A_x}\hat{i} + \dot{A_y}\hat{j}+\dot{A_z}\hat{k}) \; + (A_x\frac{di}{dt}+A_y\frac{dj}{dt}+A_z\frac{dk}{dt})$$

그리고 앞에서 유도해봤듯이 단위벡터의 미분은 다음과 같이 나타낼 수 있습니다.

$$\frac{d\hat{i}}{dt} = \Omega\; \times \textbf{i}\qquad
\frac{d\hat{j}}{dt} = \Omega\; \times \textbf{j}\qquad
\frac{d\hat{k}}{dt} = \Omega\; \times \textbf{k}$$

식을 정리하면 임의의 벡터 A의 미분은 다음과 같이 정리됩니다.

$$\dot{A} = (\dot{A})_{rel} + \Omega\; \times A$$

 

여기서 중요한 것은 상대운동해석을 하기위해 설정한 좌표계가 회전함으로써 $\Omega\;\times A$ term을 만들었다는 것이 중요합니다.

 

 

각가속도

3차원 강체 운동학 문제에서는 여러 축으로 회전을 하게 됩니다. 예를 들어 위에 나온 선풍기가 있겠습니다.

각가속도는 각속도의 시간에 대한 미분입니다. 따라서 선풍기 날개의 각가속도를 구하기 위해서는 선풍기 날개의 각속도를 미분해주어야 합니다.

$$\alpha = \dot{\omega} = \dot{\omega_s} + \dot{\omega_z}$$

이때, $\omega_s$는 $\omega_z$의 영향을 받습니다. 따라서 미분을 하게되면 다음과 같이 됩니다.

$$\frac{d}{dt}(\omega_s) = \omega_p \times \omega_s + (\dot{\omega_s})$$

 

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회전하는 좌표계에서 임의의 점의 속도와 가속도

임의의 점의 속도와 가속도는 2차원 평면에서 회전좌표계를 이용한 상대운동해석 글에서 증명을 다루었으므로 생략하도록 하겠습니다. 공식만을 소개하도록 하겠습니다. 2차원 평면에서 회전좌표계를 이용한 상대운동해석 글은 밑에 첨부해두었습니다.

 

 

 

 

 

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*참고자료*

KOOC 박수경 교수님 동역학 강의

https://kooc.kaist.ac.kr/rigidbodydynamics

리지드바디 동역학 (Rigid Body Dynamics) 강좌소개 : edwith

MIT DYNAMICS 강의 lecture note 25

https://ocw.mit.edu/courses/16-07-dynamics-fall-2009/pages/lecture-notes/

Lecture Notes | Dynamics | Aeronautics and Astronautics | MIT OpenCourseWare

2차원에서의 회전좌표계를 이용한 상대운동해석

https://sangtae-lab.tistory.com/41

회전좌표계를 이용한 상대 운동 해석 + 문제풀이